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祖冲之(429-500)
  祖冲之(429-500) 是我国古代伟大的数学家和科学家,他在圆周率研究上首先获得π值7位小数似值(盈二数)和祖率(),使中国领先世界各国千年左右,除此之外,他在应用数学知识解决天文测算和制历等实际问题上,表现出了高超的数学智慧,本文仅就他在测算冬至点方面的创造性成就,作简要介绍,以作为对祖冲之逝世1500年的纪念。

  中国自古就是农业大国。一年季节的更替与农业收成关系极大,所以中国古代历代重视历法的制定。

  历法就是日、月、年和节气安排的时刻表,而时间无头无尾,瞬息即逝,如何来测定和记录它呢?古人发现,在一年的不同季节里,同样一根圭表(标杆)的日影长短不同:冬至日影最长,过了 冬至渐短;夏至日影最短,过了夏至又渐长,周而复始。

  因此,测量圭表日影可以定出一年中的节气;特别是日影最长的那一时刻,便是冬至点,古代历法都以冬至点为一个回归年的开始,所以测量冬至点的准确时刻,就成为制历的关键。

  但是凭测量圭表的影长来定冬至点是不准确的,因为1回归年的日数不是整数,大约是365日,(这就是中国先秦时期采用的“四分历”),若按此计算,第一年冬至点在正午,第二年冬至点就在傍晚,第三年则应在半夜,第四年在早晨,第五年才又回到中午。因此,要连续观测多少年 才能判定,如果这中间遇到天阴下雨,见不到日影,便又要重新开始,何况人眼观察有视觉误差,圭表上刻度也有误差,如此等等,又要影响观测的精确度。

  冬至点测定的误差,必然造成回归年长度的误差,即使是每100年差1日,几百年以后积累误差也会越来越大,以致历法上节气与实际情况不符,就要贻误农时了。

  在祖冲之以前的治历者所定冬至点,虽有观测依据,但实际上是凭经验和估计求得的,具有严格数学意义上的冬至点观测方法,是祖冲之首先提出来的,他具体做法和推算方法,南朝《宋史·历律 志》有详细的记载.

  (农历)10月10日(A),影长10.7750尺(a)

  11月25日,影长(B)10.8175尺(b)

  11月26日,影长(C)10.7508尺(C)

  祖冲之假设在冬至前后日影长度变化是对称的(合乎情理的),那么,显然日影最长的冬至点的时刻应在A、B之间,而且在B、C间


有一时刻x,其影长与a相等,而AX中点Y就是冬至所对应的时刻。

  为求Y点,取AB中点M,则应有

  AM+MY=YB+BX

  将AM=MB=MY+YB代入,即得

  2MY=BX或MY=BX.

  他又设在一天之内,(1日=100刻)日影变化是均匀的(也合情理),则有(b-c):(b-a)=100:BX,

  从而BX=

  代入具体数值,算得

  BX≈62(刻), MY=31(刻).

  因为M点是(农历)十一月三日零时,故这一年的冬至点是十一月三日子夜后31刻,大约相当于现在早晨7时26分。

  祖冲之上述冬至点测算法,表现出他在活用数学知识解决实际问题的的高度智慧,方法本身有很高的理论意义和实用价值. 首先,他为简化问题所作的两次假设,都是科学的、合理的、数学推演是严密的,测算结果真实可信,其次,整个测算过程在冬至前后的一个多月内即将结束,这期间只要有三个晴天即可,不受天气影响。因此,祖冲之首创的冬至点测算法,一直为后世历算家所采用。

  正是由于祖冲之测算精确可靠,他所制定的历法《大明历》(公元461年制定,510年颁行,使用70年)制定的年、月和闰周数值都达到了空前的高精确度:

  (1)1回归年=365.24281481日

  与实际情况相比,1000年才多半日,其精确度在世界上遥遥领先;直到南宋《统天历》(1199)才超过它。

  (2)1朔望月=29.5305915日

  与真值相比,每月只多0.5秒不到,领先世界各国500多年,直到北宋《明天历》(1084年)才有更好的结果。

  伟哉,祖冲之!